曹则贤：经典力学（上）｜中国科学院2025跨年科学讲演

liukang20241天前观众吃瓜633

2024年12月31日，由我国科学院学部作业局、上海市科学技术委员会、上海播送电视台主办，我国科学院物理研讨所、我国科学院核算机网络信息中心、我国科学院上海分院、新浪集团承办，微博、新浪新闻、国家敞开大学出书传媒集团协办的“复兴路上的科学力气——我国科学院2025跨年科学讲演”面向全网播出。

当晚，我国科学院物理研讨所曹则贤研讨员开讲《经典力学：与数学发明同行》。现将讲演全文内容收拾如下，单个字词稍有改动。由于微信字数捆绑，全文将分为上下两部分推送，本文为上篇，包含开篇词、萌发态的力学、圆锥曲线、牛顿运动规律与万有引力、物理量与运动的描绘五部分内容。下篇详见今日的第二条推送，包含“坡”问题、虚功原理、达朗伯原理、高斯的最小捆绑原理、翻滚坐标系/刚体、莫珀替原理、拉格朗日力学、勒让德改换、哈密顿力学、哈密顿-雅可比理论、经典力学更多论题、结束语十一部分内容。

讲演的幻灯片文件可在中科院物理所微信大众号后台回复“2025跨年讲演”获取。视频回放可在B站“二次元的中科院物理所”获取。

开篇词

现场敬重的嘉宾，远方屏幕前的朋友，咱们晚上好！欢迎重视 2025 跨年科学讲演，我是讲演人曹则贤，来自我国科学院物理研讨所。

今日我要聊的论题叫“经典力学：与数学发明同行”，也叫“经典力学：原理发现之旅”，待会我会讲为什么会有这样两个标题。

本次讲演的原文件有 296 页 PPT，我必定讲不完，之后我国科学院物理研讨所会将 PPT 连同今日我的讲话稿，一致收拾起来向社会发布。各地的大学生、中学生，尤其是教师朋友们，假如发现 PPT 有可取之处，请随意选用。

我说咱们这个 PPT 是期望能够做到抛砖引玉，我的朋友说这是抛砖引“菜”！能引出菜也行。凭借这样一个讲演活动，我特别想传达一个现实——学物理、研讨物理、教物理，咱们是细心的。

为什么咱们干这件作业？很久曾经有一位泊松男爵，他说过一句话：生命之夸姣就在于两件事，做数学和教数学。

后来我查了一下文献，我猜他估量是说错了，应该是做物理和教物理。

自己现已做过 5 年的跨年科学讲演了，本年第 6 年讲经典力学。可是物理学博学多才，内容实在是太多了，所以假如还有时机，咱们期望能够进一步接连活动，接下往来不断讲数学物理、物理试验、仪器物理、原子物理等，乃至是物理学家、后物理学 Metaphysics，咱们没有把它翻译成“形而上学”，这个形而上学，曩昔咱们是作为一个负面的哲学批评的，但其实它是十分有用的一门学识。

首要着重一点，许多人跟我讲，现在或许现已习惯了我的讲演 PPT 里满页跑洋文，我想说一下，咱们这样做是想着重常识的原始表达，建议一种正确的引证，以免引起误解，最重要的也是为了便利咱们广阔的学习者和研讨者去获取原始文献。

说到这儿，咱们就不得不说母语的问题，以及在国际各地鼓起的保护母语的运动。我特别想着重的作业是：一门言语，假如它不能适应社会的开展，不行以有用地去传承文明，它的消亡或许是必定的。

因而假如咱们想要保护咱们的母语，最重要的是，咱们必定要去发明引领国际的文明，让咱们的母语成为文明的载体。我就想说这一句：你要是贡献了文明，你就保护了母语。

那么关于物理学科，我先讲讲物理学科的一些特性。1934 年的时分，爱因斯坦把物理学分红了“原理性的理论”和“结构性的理论”。像量子力学、电动力学大约都归于结构性的学识，像热力学、相对论，这都是显着的原理性学识。

而咱们的经典力学作为最原始的学识，它是在探索中逐步生长起来的。它是一门原理性学识，也是其他物理学识的根底，因而它也就显得更困难。

我特别想说一个在咱们的社会撒播、我个人觉得如同不那么正确的一种知道——觉得像量子力学、相对论、规范场论是比较高档的，其学识是难的，而经典力学如同是根底的、简略的。这或许是误解！经典力学是咱们最原初的科学理论，在它的开展进程中，除了要去界说概念，界说物理量以外，还要一同自己去开展出它所需求的数学，以及渐渐地把自己进步到原理的层面，因而经典力学才是博学多才的！

我能够负责任地说，假如咱们能够把经典力学学到十分通晓的程度，你会发现结构量子力学、结构相对论是一个瓜熟蒂落的进程。

咱们看看这几个原理性的学识，你会发现假如你掌握了它的原理，那么都会特别好了解。比方说热力学，最重要的是卡诺原理，用大白话说便是：凡是不以做功为意图的传热都是糟蹋；那像规范场论呢？它有规范原理，用大白话说便是：一个物理理论的对称性要有冗余；那么相对论的原理便是相对性原理，它说的是：物理理论与参照结构无关，物理理论的表达与你所选用的坐标系无关。

至于说到咱们经典力学，你看和其他理论就不太相同了，它的原理比较多，我捡三个重要的指出来，是虚功原理、最小效果原理和达朗伯原理。那么这样的几个原理，假如你要想用一句大白话把它总结的话，十分风趣——咱们的道德经老祖宗给预备了现成的一句，叫“致虚极，守静笃”。

虚，并且还要到极致。咱们假如了解了咱们的经典力学里边最重要的虚功原理是怎样个“虚”法，并且要求极值、做到极致。咱们就了解了经典力学是怎样结构的，也便是致虚极、守静笃。

咱们看物理学的时分，不要把物理学分得那么清楚，不要对详细的学识起别离心，由于实在的学识它必定是什么？是个一致的、有机的一个全体。在物理学里边咱们仍是要看到“同一（Unit）”，或许说德语的 Einheitlichkeit，这个词是十分重要的。

咱们看一个视频（视频内容是一位演奏者将小提琴作为二胡进行演奏，编者按），请问咱们这是什么乐器？假如你以为是小提琴，你就没看到一。

（本页 PPT 右边视频的内容是一位演奏者用一根琴弦演奏乐曲，编者按。）我想借此说一下了解学识的层次：关于右边这位先生弹的琴，榜首个层次大约是听到了琴声，第二个层次是你看到了琴，第三个层次是你看到它是一根琴弦，再往上的层次你要看到“一”，当然层次再高，是什么样我就不知道了。

不要光听到琴声，也要看到音。

关于物理学研讨的特色，我没想到会在一出河南的当地戏里，找到了一个十分好的比方。有这么一出当地戏，叫《李天宝吊孝》，是说一个青年男人，他的未婚妻因病逝世了——很悲伤的一件事，他去吊孝，到了门口就大哭一声，一声哭出来今后，忽然发现有问题了——他不知道怎样称号这个女孩子，要是他称号“姐”，人家女孩比他年青，这不对；他要是称号“妹妹”，这也不对，由于你其实是婚姻联络，这是个很重要的联络，所以你才能来吊孝的。然后他想，我要是尊重她，称号她为妻子，这如同与现实也不符——人家没过门。

所以说这便是十分为难的一个局势。关于这种为难局势，他终究就想到了一个准则：便是从榜首性原理动身！说，依照逝者为大的准则，即敬重，先喊“姐”标明敬重，然后将其作为妻子来哭，以标明对婚姻联络的认同。

那么比较看咱们物理研讨的景象，大约便是这个姿态。

当咱们面临一个物理景象的时分，咱们要标明它，你要发明界说，发明概念，你还要发明一套记号，这套记号比较谨慎，要遵照某些逻辑。并且其实这不只遵照逻辑，那里边的不同目标之间还或许有一些奇妙的联络，比方说咱们学量子力学，都会说一对算符之间是个共轭联络，共轭联络 conjugation，也便是婚姻联络。它标明看似是个独立的个别——放在社会里它是独立的个别，可是一同它们又有一种什么对偶联络。

那么面临物理景象的时分，咱们物理学研讨也说，终究要遵照一个“榜首性原理”。物理学的最高层次是要把它公理化，便是要讲理讲到极致。

物理有一个特色，便是要用到许多的数学。在我讲电动力学的时分，我说了一句话：由于满是数学，所以简略了解。前两天在国科大讲课的时分，有一位女生上来跟我说：“曹教师我总算考上科学院的研讨生了。我当年在考电动力学的时分十分忧愁，便是听了你的讲座，听到了这一句：由于满是数学，所以简略了解。然后我一会儿感到豁然了，所以我经过尽力学习，总算也考过了电动力学。我总算成为了科学院的研讨生。”

现在咱们回归正题，咱们说力学，mechanic 或 mechanics，咱们汉语把它翻译成机械或许机械观，或许有人把 mechanics 就翻译成了力学，咱们社会也有“四大力学”的说法。

可是咱们看看，当咱们读到这些词概念， mechanics of heat、mechanics of electricity、mechanics of atom、theory of quanta，就发现这儿面的 mechanics 都不能简略地翻译成力学，它不是力学。

那么究竟 mechanics 怎样了解？后来我在大神马赫的一本书里读到了他的这么一句：mechanical 这个词和“唯象的”这个词是作为相对的。也便是说，咱们关于国际的理论有两个层次，一个层次是唯象的——咱们就事说事。那么 mechanics 的意思便是说，你要深化到下一层次，要诘问它的道理。

所以说当咱们学习杠杆平衡的时分——咱们都知道在咱们我国的初中会学杠杆原理，但假如你在学杠杆原理，你看到了虚功原理，并且把它进步到哈密顿-雅可比方程的层次呢？这个大约就算你学会了 mechanics，所以说 mechanics 是什么意思？我觉得它大体上相当于咱们汉语的“道”。

所以说我就发现，咱们我国人关于学识的要求是十分高的。咱们往常说话的时分就会问，你知道不知道？咱们想一下这个要求是蛮高的，“你知道不知道”大约能够了解为“你究竟懂不了解力学”。

那么力学 mechanics 或许“道”究竟是什么？你会发现咱们的《道德经》里边有一句话叫“天之道”，天道是什么？天道便是“损有余而补缺乏”，损是什么？损是减号。

咱们会看到经典力学最高的原理便是讲一个“减”——动能和势能之差，以及积分的变分为 0 之类的。这个道理比较深，可是里边有个要害的当地，那便是“损”，中心是个负号！待会我会细讲这儿面的道理在哪。

力学重视的还有一个重要的东西，实践上是叫运动或许叫改动，那么“易之道”和 mechanics究竟又是什么联络呢？咱们看孔老夫子在《易传》里边有这么一句，“天行健，正人以自强不息；地形坤，正人以厚德载物”，“正人以”被某些人了解为“一个正人用什么”，其实很难解说通。咱们来看看他究竟说的什么意思。

天行，行是 motion，健是指乾卦，正人以自强不息。自强和不息，两个是并排的，他的意思是说，乾卦的天所运转的特征，或许说分配它的道理。正人以，“君”是动词，分配它的道理是什么？分配它的道理是自强不息，这大约正好是咱们动能的特征。地形坤，正人以厚德载物，坤卦的势，它的特征是什么？是厚德载物，你看恰恰是咱们势能的特征。（“君”是动词，“分配”的意思，这儿的解说中将“正人”的“子”了解为“之”，是一个代词，代指前面的“天”和“地”。编者按。）

我这么解说是有依据的，由于你读这篇《易传》，你读到其他当地的“正人以”的时分，也都是这个意思，你看“正人以经纶”，意思是说什么？天上有云彩，打雷的时分的特征是紧密，密云不雨；山崖出泉，蒙卦说的是“正人以果行育德”，便是说山下出泉流，它的特征是什么东西呢？它的特征是俭行养德，所以说“正人以”的“君”是动词。

我这个说法不必定对，供咱们评论。所以说运动的道理，咱们待会就会知道，是动能和势能之差，然后积分的变分要等于 0，这是前史，这是运动的底子道理，是所谓的天道。

西方是怎样知道力学的？亚里斯多德说，mechanics 便是那些协助咱们克服困难的工艺、技艺，便是一开端你怎样用杠杆、怎样用滑轮这些技艺，可是这些技艺协助咱们克服了困难，当咱们把这些 mechanics 里边的道理和发现上升到数学能表达的办法，从一开端的这些杠杆滑轮，经过抛石机这种机械，咱们上升到方程或许是哈密顿-雅可比方程的时分，咱们就完结了力学。

咱们看我这些图，终究一张是用的是火车，这是为什么？待会咱们会回到这个论题。

那什么是经典力学？经典力学很有意思，经典力学是出现在量子力学之前。这个道理很简略，就像现在许多家的孩子，老迈叫大宝，大宝的出现必定是在老二之后，由于什么？是生了老二今后，老迈才被称大宝的。那么在这儿也是相同，1924 年量子力学出现今后，在这之前的力学被称为是经典力学；1916 年广义相对论被推行了今后，称为广义相对论，才把曾经的相对论贴了一个狭义的标签。

那么在量子力学出现曾经，力学叫什么？叫牛顿力学，叫理论力学，叫剖析力学，还会有一个重要的词叫理性力学，理性力学在我国有些书里会这么说，尽管标明很少，可是它十分重要。

经典的力学和量子力学有什么联络呢？一些不太负责任的书里都会说“量子力学是对经典力学的革新”，我负责任告知咱们，不论是爱因斯坦仍是普朗克，在最初结构量子论的时分，他们的论文里历来没有“革新性”的表述，或许企图用“革新性”来表述，并且在玻恩发明量子力学的时分，你看人家说的十分清楚：表达一个关于量子的力学，要尽或许地如人们所愿的那样与经典的相似。

新的量子力学要尽或许表达的和经典力学相似，而不是去闹什么革新。所以说经典力学不是对量子力学的革新，并且重要的是，在文献里都会特别着重，这次是对经典力学的 Umdeutung。什么意思？便是对经典力学的转译、对它的从头诠释、对它的进步，而不是什么革新。所以我这儿说一个恶作剧的，假如有一个人对经典力学嗤之以鼻，他跟你议论大谈量子力学，请你必定要顺着他话说，就不要跟他争论。

从经典力学到统计力学、量子力学，其间没有任何概念上的跃变，这一点是我后来知道到的。那么咱们假如觉得这个欠好了解的话，我再给咱们举个比方，动物和植物之间其实也没有谨慎的鸿沟，你看这海里就有一种动物，也是植物（视频中播映的是一只十分心爱的海兔，它停止的时分就像海底的植物，但也会迈着它细小的脚步，在海底渐渐移动、寻食，果真是“静若处子动如兔”。编者按。）

咱们想想，生物和植物之间都没有严厉的鸿沟，经典力学和量子力学中心哪有严厉的鸿沟？

方才说到经典力学还有一个重要的称号叫“理性力学”，比方说这是我给咱们找的几本法文版的理性力学。

在意大利，经典力学也更多地被称为理性力学。而假如咱们学习意大利人写的理性力学的话，你就会发现它愈加简略带你走向广义相对论。由于爱因斯坦的广义相对论后边的理论，更多地是由一帮子从德国慕尼黑结业的意大利学派的人完结的。

那么经典力学的精力究竟是什么？我把它总结出来便是“带镣铐舞蹈的艺术”，为什么呢？由于咱们经典力学的学识不是研讨简略的自在粒子的运动，它研讨的恰恰是在捆绑条件下的运动。

这一点咱们必定要咱们了解——便是说，咱们社会上常常会给咱们议论自在不是无鸿沟的，是要有必定捆绑条件的，可是怎样处理捆绑条件下的运动，这是一门科学。

因而经典力学便是这样一门学识，我把它比作“戴镣铐的艺术”，那么在咱们我国有一个特别具象的一门艺术，会跟你讲在有捆绑的条件下怎样运动，并且还要发挥出最大的战力，也便是求极值。

这样的一个艺术呢，是咱们中华功夫里边特别闻名的，叫脱铐拳，咱们看它是要在被捆绑的条件下考究怎样运动，发挥出最大效果，这是经典力学的精华（视频播映的是一位武者，在双手被捆绑的状况下表表演一段十分精彩的功夫。编者按）。

那么怎样在捆绑的条件下去求一个最大值？这样终究就转化成了一个对积分求变分的问题，便是咱们在理论力学课里学到的闻名的欧拉-拉格朗日方程，为此当然你要开展数学。

假如让我去总结经典力学的一个要害词的话，那便是“虚”，这个虚出现在虚位移、虚功、虚速度、虚功函数、虚力，乃至上升到虚力学的说法。那么“虚”字用一个特别的希腊语字母的来标明，那么它大约是什么意思？

它大约等同于数学试验，也便是说一个函数，你对它做虚位移，实践上是产生一个新的函数，这个暂时说不清楚，可是我想跟咱们说的是，渐渐地，咱们往下会多供给点信息。

我想给咱们说的是,咱们中文里边会遇到两个不同的虚，一个是咱们数学的时分会遇到虚数，解方程会遇到虚数，请咱们不要用汉语的虚头巴脑的虚去了解它。反而是当虚数被引进的时分，数学家们就再三着重 Imaginary is real，虚数才是实的。

虚功原理一开端引进来的词叫 virtual，可是虚功原理被引进的时分，物理学家也是再三给你着重它才是实的，所以 What is actual？咱们必定要了解，Virtual is actual!

并且可巧的是，开展了虚数数学的，和开展了虚功原理的，是同一帮人，包含欧拉、高斯、哈密顿，他们都是了解虚数和虚功的高人。让咱们一时了解“虚便是实”不太简略，我仅仅提示咱们，不要把虚位移和实位移给弄对立了就行。那么标明的是虚位移，它和实位移的 d，是能够交流的，在你运算的时分这俩是能够交流的。

要了解这儿面的虚和实，我倒觉得《红楼梦》里边这一副对联大约说的特别好：假作真时真亦假，无为有处有还无。正好是解说这个，一个是虚位移的虚，一个是虚数的虚，不是那么好了解，可是我提示咱们有这么回事。

关于经典力学，我想跟咱们说的是它首要是一门什么？首要是一门哲学，为什么？咱们简略地把经典力学分红 4 个层次，榜首个层次便是所谓的牛顿定理，那么第二个层次的方程便是欧拉-拉格朗日方程，第三个层次便是哈密顿正则方程，第四层便是哈密顿-雅可比方程。

首要看榜首个层次，咱们都知道牛顿的第二规律说的便是因果律，你给一个力，它就带来了一个运动的改动，便是你杵一下我就唉一声，这便是简略的因果律。可是到了欧拉-拉格朗日方程的话，它便是个经济原理了，说的什么？说的是这个国际上运转的东西，必定是某一个称为效果、称为 action 的东西，要取极值，取最小值——一般说要取最小值——这便是经济学原理了。

那么到哈密顿正则方程，这个时分就会告知你，我的留意力都在办法上了，不只这个方程是必定要坚持这个姿态，并且这个方程你给它做改动今后，终究你还得给我坚持这个姿态，这时分便是一种办法即内容的哲学。

哈密顿-雅可比方程它说的是什么？它说的是要改换，还要不变改换，并且是不变改换里的某些改换才能够有助于你进步，把学识进步到这个层次，这便是考究到了这个办法与逾越的问题。

所以说咱们学经典力学的时分，当你读到这样一句说：效果变量是一种非渡越不变量——你看，变量是不变量——这个时分你觉得很了解，并且特别简略承受，那大约经典力学你就入门了。记住，变量是不变量！这句话欠好了解，今后渐渐学它。

或许许多人没留意到，经典力学，还有一个叫法：几许力学。经典力学是一门几许，咱们看它的数学仍是这 4 个层次的方程，你看榜首个层次的牛顿第二规律，它是有微分，并且是牛顿教师专门开展出来的微积分。咱们咱们都知道第二层欧拉-拉格朗日方程这便是变分，拉格朗日展现了变分学。

到第三个层次哈密顿正则方程的时分，这时分就有改换理论，要出现辛几许。至于哈密顿-雅克比方程呢？那就会需求更多的微分方程理论，然后还有办法变分理论，然后还会有什么李群理论等等，数学就更高了。

最酷的是经典力学，我方才讲它本质上是经济学，是 economics，为什么？由于它考究重要的几个原理，包含光学的最短光程原理。咱们知道有 optical mechanics，光学和力学是一家！它们是一个学识。所以说费马原理，也会被改造到咱们的经典力学里的莫珀替的最小效果原理，乃至包含高斯的最小捆绑原理。

那么说到最小效果量原理的一个忠诚的执行者，不得不提这样一种动物，叫凤头雨燕。咱们看凤头雨燕的窝，它的窝的巨细只能让一颗蛋牵强放进去不掉下来。也便是说它要是把窝多做一点，都是对咱们经典力学的不尊重，我觉得它对原理了解得太棒了！

本年预备经典力学是特别费力的，为什么？便是经典力学的学识太多了，这儿面牵扯到的每一个姓名都是如雷贯耳，我不能给咱们念，可是我要特别提出，这儿面居然有两位是女士，一位是沙特莱侯爵夫人，一位是近代的艾米·诺特小姐。

艾米·诺特小姐还被尊称为近世代数之父，一个姑娘家能把数学做到了被人称号代数之父的程度，咱们能够幻想这有多凶猛，最重要的是艾米·诺特小姐大学是文科结业。特别慨叹，咱们的培育课程尤其是咱们女科学家培育课程里边，我觉得要多介绍这两位效果到笼统层次的女科学家的学识。

我负责任地说我没有才能给咱们讲懂，并且我也不太信任咱们在几个小时的讲座里边就能够学懂，可是重要的不是说你听一遍就学懂，而是说你要听说过，这一点十分重要！十分快乐，我觉得这个理念许多从咱们物理所结业的人都能够承受，便是说：我能够学不了解，可是我要知道。

这些年的讲座里边，咱们一些物理所结业的子弟，他们的二代三代，主要是二代，都能够坚持听我的讲座。听说此刻在浙江的宁波就有咱们物理所的结业生的一对双胞胎女儿，10岁的女儿，又在坚持听我的讲座，我十分快乐，真的！我再着重一遍：我期望咱们的科学家培育方案里边，尤其是女科学家培育的方案里边多讲讲这两位学识做到笼统层次的女科学家，待会我会细讲她们的效果。

经典力学一些要害点上，也有这些大师写的作品，这些作品必定比咱们在大学里学的理论力学的讲义好懂得多，但条件是你要认得这些字。可是我负责任地说，发明这些学识的人是能够把作业讲清楚的，这也是我这些年读书读了几十年，总算有一天了解的。

在你读书的时分，假如关于某个问题的描绘，你一遍一遍读不了解，这作业不怪你，必定是写书的那个人不了解，所以说这时分正确的办法便是把这本书扔了，换一本。你会发现不论是多困难的学识，国际上必定有一个人，他是上来几句话就能跟你说清楚的。

那么关于经典力学的知道问题，在咱们国家的关于经典力学知道的问题上，我觉得咱们许多话是大的，比方说刘慈欣先生的《三体》里边——我不知道这是不是三体小说里边的原话——当咱们批评这位叶哲泰教授的时分，有一句话，“叶哲泰，你厚道告知你是不是通晓各种力学？”

通晓各种力学？我想说的是你要能听说过各种力学都是吹嘘，由于什么呢？各种经典力学开展到上个世纪之初的时分，你会发现冒出了电子力学，冒出了索末菲的超力学。1923 年、1924 年玻恩教育原子力学，然后才悟出来说需求一门新的力学，1924 年 6 月 13 号，他的论文里边给发明晰这个新词，叫量子力学。

读到一句，有某学者说“牛顿花了 30 年发现了万有引力，我花了三个月搞了解了万有引力规律”。我看到这句话的时分，我也真的十分慨叹，牛顿的确是花了 30 年发现万有引力，可是他花了三个月就搞了解了万有引力规律，我觉得不太可信，为什么？由于在咱们这个国际范围的专业物理圈里边，大约搞了解万有引力的人就没几个人。

牛顿的这本关于他的万有引力和运动规律的书《天然哲学的数学原理》，一般人是看不了解的，所以说才有闻名的诺奖得主印度人钱德拉塞卡，给咱们写了一本 Newton's "principle" for the common people，便是给咱们一般人解说一下牛顿的这本天然哲学原理，这个写给一般人的科普本，一般的物理教授也是看不了解的。所以说，咱们误以为牛顿的万有引力很简略，牛顿万有引力可不简略！待会我会给咱们证明。

为什么能看出不简略呢？咱们咱们想一下，为了写这个问题，牛顿是开展了微积分，这本书的 "principia" 是在英文表达里被称为 the book 的，前面要加定冠词的，而牛顿开展的数学办法——微积分也是要加定冠词 the 的。各位要考英语的学生记住了！这两个前面是必定要加定冠词 the 的，你幻想一下这个学识要深到什么程度，你三个月就搞了解了？

我想说的是牛顿要是如咱们了解的那样浅陋的话，他就不是牛顿了。

关于经典力学的深浅，从运动视点，从所用的数学的视点，以及从处理的问题是单体、两体、少体、多体，仍是接连体——接连体是简略的流体、可压缩流体，仍是再别的加电荷的流体——来看，杂乱程度都是很高的。

这儿面随意拽出哪一本，比方说便是一个淡薄流体的动力学识题，都是很难的。在咱们物理所的马路对面就有闻名的科学院的力学研讨所，而力学研讨所做的某一个方向，便是简略的产生高速流体，那点效果就足以支撑咱们国家在某些方面能够处于国际领先地位！所以不是那么简略的作业。

关于力学的知道问题，关于咱们国家的力学教育，我个人觉得仍是有点忧虑的，咱们看咱们中学里边的教科书或许考试题里边，有人以为力学是这个姿态的（榜首张图），那么咱们看 300 年前意大利人的力学是什么姿态的（右边的图），这是 300 年前意大利的一般书里边的，你看人家力学是什么姿态。再看 100 年前维也纳中学里边教的力学是什么姿态的（左下的图），咱们比一下这三个图大约就能看出不同了。

所以说我觉得不论是学习的意图，仍是学习的境地的问题，尤其是咱们的孩子还很小的时分，咱们要给孩子们讲清楚学习意图和学习境地的问题了。

由于我个人觉得，假如学习的意图、学习的境地、对学会的规范不同的话，终究会影响你的学习效果，会影响学习人的气质的。我特别赏识脱口秀里边的一段关于会不会游水的判据，张彩玲的二姨夫的规范是：我要不行以驾御水，这就不算我会游水；而张彩玲老公的规范是：水要没淹死我，那就算我会游水。

咱们看这两种关于游水的判据，它的不同仍是十分大的，我觉得咱们仍是要把学习的境地和要求进步一点，由于这个讲座十分长，我不或许把它讲完，所以说我讲一页纸的经典力学，就这一页记住了，就算我讲完了。

那么榜首步，便是人们调查运动，提出的像速度、动量、虚位移、功、生机、势等概念，然后从有用方面又是制作机械企图省力，然后有杠杆原理、平衡条件、虚功原理等等，这是一开端干的作业。

那么牛顿年代就有牛顿的第二规律，然后有法国人的达朗伯原理，然后由法国人莫珀替等人提出的最小效果原理。终究有一个关于从坡上滚东西的这样一个问题，我管它叫“坡问题”，就引出了第五层次的定积分的极值问题，就引出了欧拉-拉格朗日方程。然后英国哈密顿把它进步到哈密顿原理，说动力学便是拉格朗日量的效果泛函的变分问题，我会给咱们解说这什么意思。

然后第七层次就有了哈密顿力学正则方程。到第八层次，一个德国人雅可比进来了，有了哈密顿-雅可比理论，有了正则改换理论，引进效果-角变量，这样的话你就能够用于扰动论，去解天体问题，然后能够把它用来开展相对论的量子力学。

也便是说当你将 7、 8 两个问题，也便是哈密顿正则方程、哈密顿-雅可比理论很熟的时分，你再去看量子力学、相对论，你就知道人家整天在干什么，人家最初原始论文在推导什么，就能简略了解了。所以经典力学底子上这就讲完了，接下来的时刻咱们便是闲谈天了，就不那么烧脑了。

萌发态的力学

现在我才讲到我讲座的内容提要。我现已讲完了榜首部分隔篇词：经典力学是什么样的学识。那么现在看萌发年代的力学。

一开端咱们看到的都是运动，有一个很重要的词，西方人总结出来的叫“万物皆流”，就万物都是活动。所以说最初西南的某位教授提出治沙的一个做法的时分，其时我是现场评定专家，我是竭力拥护的，由于什么？尽管他用的办法详细怎样样我不知道，可是他的哲学思维是对的。由于沙首要是“流”，治沙首要是处理流的问题，今日咱们国家必定在这方面做到了，万物皆流，有这个运动就有人去考虑运动的原因。

古希腊亚里士多德便是说运动是外力形成的，外面有一个驱动力，它动一下，就跟咱们人上班似的，人戳你一下，你就往前动一下，不戳你，你就停止了大约。所以古希腊是这么以为的，那么怎样了解下落？他们说物体不同速度下落，便是寻求它的天然方位，是天然生成的倾向，咱们看，这时分尽管有物理学的知道了，但它某种含义上说仍是神学。

后来你看，一开展出物理学，把神学除掉出去今后，形而上就渐渐变成了哲学，今日哲学中，与亚里士多德一同代的也比较齐名的，出现在同一幅油画里边的，有一个人叫 Strato，Strato 就不赞同亚里士多德的观念，他以为不需求一个自动的神往来不断驱动国际的运动，而应该是把国际的运转赋予天然自身，这个是一个无知道的东西，也便是说存在天然科学这种东西，natural science。

也是 Strato 给咱们造了 Physics这个词，这便是咱们今日的物理。而与此一同，咱们我国在唐朝的时分，有一位闻名的物理学家杜甫也说出了那句闻名的话叫“物理固天然”，物理便是天然。

那么 Strato 做出过什么重要讲话？Strato 有一个重要的发现，便是留意到从高处喷出的水或落下的水它是会断的，而这高处落下的水断的话，断的雨滴之间的间隔仍是越来越大的。所以乎他提出了一个关于运动的别离说——下落是一个加快运动，而不是简略的就叫运动，是加快运动！

在这个年代里呢，人们需求干活，就需求省力，就重视了两种重要的机械 mechanics，一个是杠杆，一个是滑轮。那么关于杠杆就得到了杠杆的平衡条件，这是咱们我国的中学教科书里会教的，说平衡条件说便是指点两头的两个力，和各自的臂长相乘，这便是杠杆平衡条件，咱们的中学物理教科书里是这么教的。

我请咱们留意，假如是仅仅停留在这一步，浅陋太多了，杠杆原理内容多是由于什么？平衡是软弱的！或许说仅仅在一个极点条件才有平衡，你带着孩子到游乐场去玩跷跷板的时分，全体状况是不平衡才对，对吧？平衡仅仅一个奇妙的状况。

当然了，也不要小瞧平衡，仅仅坚持一个杠杆的平衡，也便是咱们的杆秤，这儿面的科学写一本书都够。当年咱们中科院的公开课里边，我有一个专门讲座就讲杆秤，并且我把标题叫做《物理学从不浅陋》。关于杠杆平衡，你写一本书都用不完。

阿基米德除了发现浮力原理以外，他还发现了杠杆的威力，还证明晰杠杆规律，运用过重心的概念。咱们先看他发现的杠杆的威力是什么，我正好找到一个小视频，看看杠杆的威力在哪里（视频中是一个人拿着一根长杆，将杆靠在护栏上，松手之后杆的上端朝外边落下，内侧一端尽管力臂很短可是由于有速度，将人掀了下去。编者按）。

杠杆威力在哪里？杠杆威力不在臂长是什么，而是速度，那端运动的速度，所以杠杆原理会引进虚速度的概念，那个当地很重要。

那么咱们看阿基米德是怎样证明杠杆规律的，特别聪明！他是这么证明的：假如说一个均匀杠杆长度是的话，那么你在中心支着它必定平衡的，没问题吧？

好，现在我假定在中心的当地，我把它分隔了，分红两段了，那么你在它们各自的中段加上一个支撑点，它们各自是平衡的，没问题吧？

那么好，这就相当于各自的重量放到各自的支撑点，阐明在支撑点上，假如杆是没重量的话，在那两个支撑点放上它们相应重量的东西的话，在原本那个点上是平衡的，所以乎就得出条件，，这便是杠杆原理！

你看这个证明是十分聪明的，我觉得不论怎样要加到咱们中学的物理讲义里，特别聪明。

别的一个机械便是滑轮，那么咱们的要点讲义里边是怎样教滑轮的？

用滑轮去吊过东西的时分，重要的是你拉重物那一刻，拉住了那不算本事，拉不住才是问题，才是要研讨的科学识题。

也便是说，去拉绳子的时分，你拽着它不让它走，可是你感觉到绳子如同要往上走、要跑，这个当地就能够引进虚位移的概念。而虚位移，请咱们记住，它仍是实打实的东西，由于你手稍不留意绳子呲溜就蹿上去了。

所以说当咱们研讨杠杆和滑轮的平衡的时分，请咱们记住平衡是软弱的，是一个极稀有出现的作业，是一个能够用数学办法标明为零概率零测度的构型，不平衡才是常态。

因而你需求的研讨是趋势，是一个力学的形状，“它接下来要发什么”这个趋势才是你要研讨的目标，这便是所谓的虚位移。古人说的“引而不发，跃如也”大约能标明这种状况，即拉弓的时分很吃劲，但手又没松那个状况，或许和虚位移有联络。

那么咱们再看阿基米德的效果，一个是漂浮，一个是杠杆。漂浮的平衡条件是浮力等于重力。杠杆的平衡条件是两头力乘上力臂后数值持平。咱们能够发现，平衡条件等号两头的物理量，榜首个等式和第二个等式是不相同的。这两个景象都是平衡，可是却不在同一个平面、一个层次上。这样一来，咱们更应该诘问平衡究竟是什么意思。

平衡不是不运动。关于一个有许多质点组成的系统，平衡是外力之和等于零，外力加的力矩等于零，能匀速运动或许在系统内匀速的翻滚。

荷兰人斯台文给咱们咱们区别了什么叫稳定平衡、非稳定平衡、中性平衡。稳定平衡指假定存在虚位移或许产生偏移后，系统能够自己回到原本的方位。非稳定平衡指先产生一个小的位移，这个位移逐步变大，导致系统离开了原本的方位。中性平衡指拨动系统多远，系统就挪开多远，并且在新的方位坚持不动。

经济学里边还有一个需求了解的概念，常常作为要害题出现在各种力学书里：三个力假如平衡，这三个力就构成三角形的三边；三个力加起来等于零即三个力矢量相加等于零。终究标明成用这三个力的矢量作三边的三角形。

不知道咱们对这个概念是什么感觉，但我最开端触摸它的时分感觉怪怪的，有几个当地不了解，又说不出来怎样不了解。直到我读了 Hermann Grassmann 结构矢量与“线的代数”的进程，我才知道力的矢量和位移的矢量是有界说的：矢量 AB 等于点 A 减点 B。

了解了矢量的界说后，咱们来看一下方位对时刻的微分等于速度矢量这个等式。等式右边是速度矢量，但左面的矢量是从哪里来的？答案是：矢量从 dx 来。dx 是矢量，x 不是矢量，dx，也便是说位移，是矢量，是两点之差。

从此之后，咱们的力学就到了近代。意大利的伽利略是近代科学奠基人。他调查教堂里边吊灯的摇摆，发现摇摆是周期性的；一同灯油越烧越少、摆锤的质量越来越小但周期不变，阐明质量不影响周期。所以他得出榜首个定理：单摆的周期和摆锤重量无关。

灯油烧干后咱们需求要往里添油，需求把灯从很高的当地一点往下放，放到地上再去添油，这个进程正是单摆的摆绳越来越长的进程。他发现如同摆绳越长，摇摆周期就越长。周期和摆长究竟是什么联络呢？成正比？不像。周期平方和摆长成正比？差不多。所以他得到了榜首个物理公式：周期和摆长的平方根成正比。有了这个公式，人类就开端造挂钟和计时器。

伽利略还研讨什么？他研讨运动的来源问题。

他在用木头做的坡上放置小球，球会从一个坡滚到对面坡上。他发现假如在木头上面打蜡，使木头小坡满意润滑，小球从这边滚下去会停在对面相同的高度；假如把这个坡做得再陡峭一点，小球翻滚时刻变长，并且仍是滚到和原本相同的高度。

假如咱们假定存在极限状况使坡的斜度等于零，这样以来小球为了抵达和原本相同的高度会一向向前翻滚，可是不论怎样往前运动，它的高度一点也不添加。就像咱们现在在社会上做牛马似的，不论咱们怎样尽力进步自己，成果都是再做无用功。小球也相同，只能永久运动下去。

伽利略把这个叫做惯性运动：没有外力阻遏的时分，一个物领会一向地运动下去。

伽利略还发现了运动的相对论。简略说便是，在一个匀速运动的系统里，比方说在水上漂的大船，它里边产生的力学现象和地面上产生的力学现象是相同的，是不受影响的。船上顶上水滴仍是直直的掉究竟下那个碗里边，小鱼缸里边的几条鱼仍是和岸上一游的相同愉快，也没有一个前后方向的别离，这便是伽利略的相对论。

可是伽利略最重要的一个作业是他得到了落体规律，他的试验设备便是右上角这个木质的斜坡。他让一个小球往下滚，沿着斜坡挂着不同的小铃铛，球往下滚的一同碰到铃铛就“叮铃”响一声。

他调整铃铛的方位，使得小球滚下来的时分宣布的响声的时刻间隔持平，再去量每一段旅程两个铃铛的间隔，发现每两个铃铛之间的间隔份额是1:3:5:7。假如从顶端算起，每一个铃铛间隔顶端的间隔份额便是1:4:9:16:25，也便是说下落高度是和时刻平方成正比的。

这个公式最重要的当地是什么？是这个公式和小球的重量没联络。不论运用什么样的小球滚下来，它的下落高度都和时刻平方成正比，和小球的重量没联络。这儿我还要着重一点的是：伽利略得到这个公式，试验规划和丈量办法都很粗糙，可是这些都不重要，假如是照现在像某些人相同准确地用核算机拟合，就把物理规律给拟合跑了。所以说物理丈量也不是越准确越好。

经过这种办法伽利略知道到了不同重量的物体，从高处放下去之后会一同降落，传说他还在比萨斜塔把两个物体放下去，经过试验证明的办法让咱们看到、两个物体是同步下落的，让咱们都信服了。但实践上十分抱愧的是试验没有办法证明两个不同重量的东西是一同下落的，由于你永久说不清楚什么叫一同下落。

那么伽利略是怎样证明两个物体是一同下落的呢？

他发明晰一个叫做 thermoscope的试验设备，是一个没有标示的温度仪，有标示就叫温度计。更细心的来讲，便是玻璃管里边放了一些混合的液体和不同比重的、像泡泡相同的小球。当温度改动的时分，液体的密度产生改动，升温的时分密度变小，原先有些漂浮的泡泡就能掉下去；天冷了，原先掉下去的泡泡又从头浮起来。依据泡泡的漂浮状况，能大约判别天冷了仍是天热了。这样一个设备是怎样证明不同重量的物体下落是同步的呢？

咱们给定一种密度的液体，有些泡泡飘着，有些泡泡很快沉底。假如咱们减小液体密度，原先漂浮的泡泡下沉追逐先一步下沉的泡泡；再减小液体密度，又有一批新的泡泡下沉追逐方才下沉的泡泡。假如咱们假定存在某种极限状况，玻璃管内没有介质，那么原先由于液体阻挠而导致泡泡下落快慢差异的要素消失。形成差异的要素消失后，结局便是一切泡泡同步下落，这就证明晰不同重量的物体下落是同步的。

但现如今依然有许多人死脑筋，做各种试验证明这个定论，比方说用高速拍摄拍两个液滴承认这两个液滴是不是同步下落的。那么这两个液滴是不是同步下落？实践上是它启示咱们倾向于去以为液滴是同步下落的，可是你永久不能证实这一点。

所以我特别想说的是：实在的试验必定是思维性的，是带思维性的试验。最有用的试验室是扛在咱们人类膀子上叫做脑袋的东西。

咱们来看一下伽利略自己在《论运动》这本书里边是怎样证明不同重量的物体是同步下落的。他假定有一重一轻两块物体，假定重的东西下落得快，轻的东西下落得慢，这便是原本亚里士多德的理论。现在假定把这两块物体粘一同，它就比原本这两个物体都重，按方才的逻辑它应该下落得最快。

可是咱们细心想一下，原本两个物体一个下降得快一个下降得慢，粘在一同后却下降得更快了，这不契合逻辑是不是？就像咱们都知道大人走路快，小孩走路慢，早晨去送小孩去幼儿园，牵着小孩一同走路却比自己一个人走得还快，这不契合常识。所以亚里士多德的理论是错的，重的东西和轻的东西同步下落，两者粘在一同后依然同步下落，这样才没有逻辑对立，这个才叫做试验。

简略的下落也会引出许多学识，由笔直下落咱们总结出了机械能守恒，这些我稍后再细讲。关于平抛运动，你会发现它是自在下落加上平抛的惯性运动的矢量之和。假如还有空气阻力的话，还要核算上空气阻力。

从一点抛出一个东西，怎样落到你想落到的这个点，都会开展出专门的一门学识，这门学识叫弹道学。咱们也知道咱们的解放军里是有专门的炮兵校园，其间弹道学是十分重要的一门学科。

说完地上的运动，咱们现在看天上的运动，天上的运动，天上有一批流浪者 Planet ，咱们管它叫行星。

一开端咱们觉得行星轨迹都是圆形的，是完美的圆形，后来发现不是那么完美。托勒密就用圆上摞动圆的办法加以修正，这便是天文学里边的均轮-本轮系统。咱们都知道，行星在天上运动没有留下实践的痕迹，咱们关于行星运动轨迹的数据误差是很大的。因而有人就猜想轨迹或许是和鸡蛋相似的卵形线，可是那个时分没有人给出卵形线的方程。

在1609年 Kepler 指出行星轨迹或许是椭圆。两百年后 14 岁的 Maxwell榜首次写出了卵形线方程。说一句题外话，幸而 200 年今后才有卵心线方程，假如 200 年前就有卵形线方程，用卵形线去研讨行星运动的话，行星轨迹或许研讨不出来了。

咱们研讨天上的运动的参照点是哪儿？参照点必定是咱们脚下。在地球上咱们看到火星的轨迹便是这个图里这个姿态，这么杂乱图，让你写出它的方程，咱们想怎样或许呢？

这时分咱们就发现咱们还有关于太阳的轨迹数据，尽管不行以严厉相减，但你将就一下把火星的轨迹数据减去太阳轨迹的数据，就相当于把参照点从脚下挪到太阳上，就会发现这几个行星的轨迹是简略的闭合轨迹，就有点像咱们操场上的跑道了，一会儿就简略多了。

尽管是很简略的一个进程，但给咱们带来了一个很重要的思维：朴素的相对论思维。什么意思？简略来说便是运动不会由于你参照点变了它就变了，可是运动的姿态又的确由于你的参照点变了它就变了。

所以我期望咱们能了解这儿面的道理：同一个人，你从不同观念视点去调查他也是不相同的；可是他仍是这同一个人，他应该有不变的当地。所以这就引进了一个重要的科学研讨办法：改换。关于什么是改换咱们之后再评论，重要的是咱们要学会用改换的办法去研讨科学识题。

到此为止关于天上行星运动就有了日心说，以太阳为中心。早先是地心说，以地球为中心。传说布鲁诺伽利略等等尽力保护日心说，终究日心说战胜了地心说，但实践上作业不是那么简略的。

伽利略不是证明晰日心说，伽利略自己用望远镜观测到木星有4个盘绕木星的卫星。尽管月亮是绕咱们地球转的，咱们觉得行星是绕太阳转的，可是木星有4个小家伙，它是绕着木星转的，也便是说国际里如同哪里都存在中心。所以说在伽利略的年代，重要的不是日心说战胜了地心说，而是是中心说的消解。换句话说国际没有特定的中心，许多当地关于当地产生的状况都是中心。

看到这一点我就特别总结了一句：我安身处便是国际的原点，你安身的当地也是国际的原点，我尊重我安身的当地是国际的原点，也要要尊重在他人眼里人家安身处也是国际的原点。不是国际中心说，不是当地中心说，而是无中心说。可是这个无中心说终究也仍是要引出了中心，也便是说当咱们描绘国际的时分，参照点这个作业仍是一向在的，不能疏忽。

在伽利略的年代，波兰人哥白尼就总结出了行星三规律：行星的轨迹便是圆上摞圆，是均轮-本轮的理论；太阳大约在各种轨迹的中心，即日心说；行星在主轨迹上也便是均轮之上，速度应该是个常数。这是哥白尼的行星运动三规律。

到了开普勒年代，依据丹麦人第谷的愈加准确的数据，他总结出了开普勒的行星运动三规律：行星轨迹是以太阳为焦点之一的椭圆；行星到太阳的连线，单位时刻扫过的面积在天上扫过的面积是持平的；轨迹周期的平方和轨迹的巨细或许叫长轴或许长半轴的三次方之比是稳定的。这便是书里说的开普勒的行星三规律。

假如咱们细究一下，就会发现这儿面有许多的问题。首要咱们得知道这些内容论述在哪里。

开普勒给咱们留下一个一本十分有名的书，叫《Harmonices Mundi》，一般翻译成《国际的调和》，但翻译或许了解错了，这本书实践讲的是国际是怎样拼装的。这个插图用各种多边形的相互包括，来论述不同信息的轨迹是怎样相互容纳的，以此议论天空上的国际是怎样拼装的问题。

当然这和调和是有联络的。音乐独奏也是调和的一种，把不同的声响凑到一同拼装的挺好，让你很舒畅。所以说当咱们用调和这个词去翻译 harmony 的时分，请咱们记必定不要忘了拼装的意思。

由于在咱们学的物理里边，大部分议论的都是拼装。除了方才说的学的国际怎样拼装的，固体物理学简谐振子也是拼装。你找到一个方向，这个方向不同原子拼装成一个单一频率振荡的框构架，这个叫单谐振荡。还有量子力学数理方程的球谐函数。我每次听人说起球谐函数，我都想起来穿球鞋。

实践上球谐的含义是这样：一套函数你用几个凑一同就装置出一个球对称的散布，再用几个又装置一套球对称的散布，你就能够了解原子外面电子的球壳模型，由于每一个壳层用的球形函数，那几个函数加起来就能够得出了一个球面临称的散布。所以说咱们了解这个词今后，了解问题就简略多了。

发现这样巨大的新式三规律，开普勒心境是什么姿态的呢？咱们现在许多同学觉得最快乐的事便是能发一篇 Nature、发一篇 Science，但开普勒是怎样表达自己发现三规律的心境呢？他说：我胜过你们人类。

刚刚咱们一向在评论日心说、地心说、谁是中心，处处都在议论心，阐明心这个字是很重要的。所以说咱们学物理要长心，咱们重视物理问题的时分要重视心，那么谁重视心了呢？后来的牛顿特别重视心。

那么咱们看开普勒的三规律，实践上要细心了解的话或许内容许多，比方说行星轨迹是以太阳为其焦点之一，咱们必定要知道“焦点”说的什么意思，焦点说的意思是“炉子”，由于行星运动轨迹中心的那个东西叫太阳，咱们说太阳便是个大火炉。所以说后来关于火炉子的研讨就有光谱学，黑体辐射又会导到量子论，那么量子论需求的常识也和轨迹有联络。

第二规律说行星的太阳连线在持平时刻内扫过相同的面积，第三规律弥补说的是不同行星的轨迹周期的平方和它长轴的三次方之比都相同。意思是说这几个不同行星的这个数据是相同的，标明什么？第三定理说的是太阳的事。

所以说三个规律咱们咱们必定要看清楚，那么怎么样从这样简略的一个运动里边看出天然的奥妙，这是科学家要培育的才能。有这种才能的是大科学家，Kac 在赞扬爱因斯坦的时分就说：假如你也能像爱因斯坦那么巨大的话，你就能听见天主的声响。

咱们管做出巨大科学发现的人都叫什么？叫窥探了天然的奥妙，或许叫听到了天主的声响。

开普勒定理里边，除了方才说到的“单位时刻扫过相同面积，即角动量守恒”以外，还有一个重要的守恒量，在咱们的力学里边——你看咱们国内力学很少教的——叫拉普拉斯-龙格-楞次矢量。

拉普拉斯是法国人，龙格和楞次都是比较近代的德国人了，说他们俩“从头发现”，那么这一个矢量有多重要？看它和量子力学的联络你就知道多重要了。

拉普拉斯是拿破仑的教师，我请咱们记住，拿破仑自己可也是法国科学院的院士。龙格是谁？咱们学的一种核算办法就叫 Runge-Kutta 法。那么他是谁的导师？他便是创建出量子力学的玻恩的导师。而创建量子力学的进程中最重要的是要做出所谓的“矩阵力学”，矩阵力学要证明自己正确，就要解氢原子问题，用矩阵力学解氢原子问题，谁能干出来？便是泡利，泡利给创建了量子力学的玻恩做过帮手，而解这个问题的时分变成了楞次的帮手。

所以说咱们这个当地不能光教角动量这一个守恒量，这个拉普拉斯-龙格-楞次矢量也必定要加进来。

研讨天上的运动靠什么？靠调查，靠光。那么已然研讨运动靠光，所以说最初关于光和运动，人家就没把它们分隔。咱们留意到古代创建力学的人，伽利略、开普勒、惠更斯、牛顿、哈密顿波这些力学咱们，都是光学咱们！这儿每一个人都有光学作品。当哈密顿依据射线光学，为咱们的几许力学寻觅对应的时分，他就发现这个国际上还缺一门力学，这个力学应该叫动摇力学。

可是其时不知道动摇力学是什么，到了 1926 年的时分，薛定谔才结构了量子力学的一个版别，那便是动摇力学。

应该存在动摇力学，这一点早在量子论之前就被提出了。创建量子力学的波恩所写的那本光学原理，也是经典光学的经典作品。所以咱们必定要记住，当咱们看天上的物体运动的时分，咱们能看见一个物体运动，是由于有来自这个物体的光，因而你对这个物体的运动的了解和光不能分隔。

我再着重一遍，这些发明力学的咱们也是发明光学的咱们。

圆锥曲线（椭圆）

可是天上行星的轨迹为什么是椭圆呢？假如是圆周运动不是更傻吗？不更好研讨吗？对不对？开普勒在书里说“当我发现行星轨迹是椭圆的时分，我都要疯了。”

好，现在咱们进入下个阶段，咱们谈运动该怎样描绘，然后再看椭圆运动。咱们要点都会教咱们匀速直线运动，在一个匀速直线运动的参考系里看另一个匀速直线运动，其成果仍是匀速直线运动，所以比较简略。

第二个咱们会的运动便是匀速圆周运动，教师都会教说匀速圆周运动的时分需求向心力，向心力等于什么？等于质量乘上速度的平方，再除以半径。底子上咱们的中学讲义里边教到这个就完了，咱们可别误以为你现在就知道了这个公式，里边内容可多了去了，为什么？

首要这个当地议论的应该是负的，这个东西叫“离心力”，你拿一个绳子拴一个东西，绕着圆圈转的时分，能够把它了解为：你在绳子上施加的力和这一个圆球的离心力，二者的平衡。所以这个当地实践上是一个等效能，叫离心力。

然后这个公式你就能够把它了解成什么？你就能够把圆周运动公式了解成你施加的力和这个球自身的离心力，它俩之和等于 0，而这个等于 0 还要坚持住，使得任何违背原轨迹运动的趋势都不产生。

所以乎便是这个力和虚位移的点乘等于 0，这才是达朗伯原理。

而最重要的是这个公式中所谓的离心力或许向心力，分母上面出现了一个东西：，这又是个新的物理量，叫“生机”。就像咱们说人充满生机。别的，这个半径不是圆的半径，而是它运动轨迹的“曲率半径”。

仅仅可巧关于圆来说曲率半径就等于圆的半径，可是，凡是你手松一点，轨迹有点变的时分，这个半径就不等于圆的半径了。所以说这个当地的半径，咱们必定要记住它是轨迹的曲率半径！不能教给咱们孩子说这个当地便是圆的半径，不是这么回事。

所以咱们看到这儿面的内容实践上是许多的，并且启示很大。那么行星轨迹咱们都说一般是圆或许椭圆有抛物线，其实不是，应该是一串过来是点、线、圆、椭圆、抛物线、双曲线。这些不同的形状，假如咱们抛一个东西，它一动不动便是一个点；竖直往上抛它再落下来速，运动轨迹便是一条直线；你往前抛它就抛物线；力气大能抛到榜首国际速度不掉下来，它便是绕地球的一个圆；再用力抛一点，它就能抛出一个椭圆轨迹来，咱就能发射卫星了。

所以说你看点、线、圆、椭圆、抛物线和双曲线都是一个抛体的运动轨迹。假如几个不同的几许都是同一个物理问题的解，就阐明它们必定是同一个东西，所以今日咱们说的点、线、圆、椭圆、抛物线和双曲线或许是同一个几许的东西，这个东西是什么呢？这个问题早在 2200 年前就有专著给咱们解说清楚了，这个东西就叫“圆锥曲线”。

Conic Sections 讲的是什么？其实很简略，咱们回家到厨房里找两个形状比较规矩的胡萝卜，把两个胡萝卜尾巴对尾巴放直，拿菜刀就能切出这些几许点。

在这两个胡萝卜尾巴触摸的当地悄悄下一刀，假定尾巴无穷小，咱们就能得到一个点；顺着两个胡萝卜旁边面刚刚触摸的当地，咱们能够切出一条线；笔直于胡萝卜中心轴的当地切一刀，得到了圆；把刀偏一点，切出了椭圆；平行于主轴一刀切开两个胡萝卜，咱们就得到了双曲线；在单侧边平行的当地，能够顺着萝卜的开口切出去，这样便是抛物线。

椭圆叫亏一点，抛物线叫刚刚好，双曲线叫有点过了头，你知道是亏一点、刚刚好、过了头，你就知道他们之间的能量联络是什么。为什么外国人简略揪出科学中的问题？由于咱们翻译这些东西时是没有联络的，原本关联性很强的的学识，被某些人一翻译就不知道在说什么了。

已然椭圆、圆、抛物线是同一种东西，那么椭圆有一个咱们比较了解的界说便是到两点间隔之和等于常数的点的调集是椭圆。

可是咱们想想，已然椭圆是行星轨迹，只需一个太阳意味着行星轨迹只需一个焦点，阐明椭圆必定只需一个焦点的界说。那么椭圆是怎样界说的呢？到一点的间隔和到另一条直线的比小于一的常数的点的调集是椭圆，便是说这个比值小于一，对应之前说过的亏一点。

当咱们在远处用平行光照一个球的时分，这个球的投影是一个椭圆，标明一种空间的缩放。借此咱们咱们也能够了解投影几许里边关于椭圆的一些常识。椭圆的常识太多，此处咱们不再细讲，就请咱们记住一条，行星绕太阳做椭圆运动，到焦点的力或许加快度是和间隔成平方反比的，可是到椭圆正中心间隔反而是成正比的，这一点是咱们一般书里没有的。

牛顿运动规律与万有引力

现在为止关于行星轨迹还仅仅是描绘性的，道理性的还没开端，直到牛顿出现。咱们老祖宗曹操居然在一首诗里有牛顿这个词，叫“牛顿不起，车堕谷间”，意思是路很难走，牛拉车累得趴地上，这是恶作剧了。在西方人的眼里边，牛顿某种含义上是半神，被称为神族的几许学家。

牛顿给咱们留下了两本作品，别离是《天然哲学数学原理》和《光学》。在这儿再提示咱们一句，牛顿的《原理》和《光学》无妨当一本看，而那些发明力学的人都是发明光学的人，而光学和力学终究合在一同变成了“Optical Mechanics”，他们是同一门学识。他们同一门学识的要害点在哪？答案就在牛顿的《光学》里边。

你了解了怎样描绘曲线，就能了解为什么力学和光学是一回事。爱尔兰的哈密顿弄懂了牛顿，他就效果了经典力学的巅峰。英格兰的狄拉克弄懂了他们俩，效果了量子力学巅峰。哈密顿这个词，是国际上仅有一个时时刻刻都有人在输入的词。

传说中，牛顿被苹果砸到脑袋后发现了万有引力。但仅仅是被苹果砸到还不行，重要的是经过苹果砸脑袋而得出力是有心力的概念。苹果会砸到脑袋，躲开会砸到地上，挖坑会砸到坑里，这证明地球对苹果的招引是有心力。

苹果在树上时和大地有衔接，苹果坠落的进程和大地没有衔接，大地依然招引苹果，阐明招引力是不需求触摸的。同理天上的月亮和地球也没有触摸，地球或许也招引月亮，可为什么苹果能掉下来，月亮没掉下来？牛顿就想去解阐分明是相同的招引力，有的东西掉下来有的东西不掉下来？不掉下来的那个东西的轨迹是圆，椭圆仍是抛物线？那么牛顿是怎样阐明的呢？

他说是开普勒的第三规律启示了他，去得出地球对地球之上物体的招引是平方反比律，而不是什么苹果，重要的是周期和长半长轴的次方成正比这个作业。

这个当地重要的是关于有心力的概念。有心力是说，从一点咱们有一个方位矢量，然后这一点还运动，所以说咱们就有两个矢量。两个矢量能界说什么？两个矢量就能界说一个平面。所以说行星轨迹运动始终是在平面上面这样的一个矢量，便是方位矢量和速度矢量的叉乘，再把质量带进去，这便是所谓的角动量。那么关于有心力的话，很天然的，角动量是守恒的，这便是行星运动的第二规律，说单位时刻扫过的面积就这么解说。

当然从数学方面你能够很简略证明这一点，证明这个当地咱们一般的书里边证明也还行，可是假如咱们学几许代数的话，会发现用几许代数你证明的东西就更简略，愈加简略证明。

我再提示一句，咱们假如学会用楞次矢量，再学会用几许代数的话，学这个东西，反而更简略。这些数学就不讲了，仅仅说咱们去看这样一个在平方反比律下面去推导运动方程的话，用到这个叫微积分。

当然，其时牛顿手里也没有微积分，所以牛顿教师还不得不自己开展出微积分。咱们现在就能够证明出在有心力下运动的轨迹解出来的轨迹便是椭圆。

咱们看这个方程便是椭圆方程，可是这个 u 是曲率半径分之 1，或许说曲率，也便是弯的程度等于办法，这便是椭圆或许抛物线。

所以假如咱们把这些数学要是学了解的话，就会发现学这个物理很简略。

我再次想着重咱们，便是说或许运用的数学学识越深邃，问题就会变得越来越简略明晰，反而好懂。由于你对一个问题的论述，不必那个层次该有的言语，他就会越说越模糊，便是这个道理。那么我乃至想说不教有用的东西却要求咱们的学生去了解，我觉得这有点欺负人，乃至许多时分咱们的教师在自己欺自己。

行了，有心平方反份额这些数学咱就不讲了，咱接着往下讲故事。

这儿弄了一页只想告知咱们，牛顿发现万有引力不是光靠苹果砸脑袋一下。人家牛顿教师画的图去解这个问题，企图证明平方反比力，下面运动轨迹是圆和椭圆的时分，用这个图你看有多杂乱。不要期望苹果砸你脑袋一下，就能得出那么大的效果。好，咱们加快一点。

那么牛顿在考虑地球招引苹果的问题的时分，苹果能够作为一个点，可地球这么大个你不能作为一个点，他就近似把地球作为一个点，把问题处理了今后，然后也相应它的开展出的微积分，反过来会发现近似不是近似，而是严厉的。也便是说假如你幻想苹果和地球之间的招引，它上每一点的招引是间隔平方反比的话，那就等效于苹果和地球一切质量会集在地心，等价的成果是相同的，是严厉树立的。那么这个时分就留意到一个很风趣的现象了，便是苹果的重量是什么？

苹果的重量是地球招引苹果的一切力之和，所以乎咱们说苹果这个重量是二两。可是这个时分假如从苹果的视点看地球的重量的话，由于效果都有反效果，所以说就当地球对苹果的招引力来说，由于地球形成了苹果的重量这个视点来说，苹果重二两的话，你会发现很风趣的是，这时地球被苹果形成的重量它也是二两。所以说各位地球和你究竟谁重，你们俩相同重，由于这便是相互效果。地球形成你的重量，或许它对你的引力和你对地球的引力和它是相同的。所以这便是很重要的一个成果，便是“我与地球同重”，当然你和地球也相同重，

那牛顿还很了不得的，他又得到了这个单摆的公式，而他对单摆的公式的推导更酷，他就简略地用挪开一点的时刻，和挪开一点取得速度等于周期比上挪开这点间隔除以周期（：：）就这么一个简略的公式，就能够得出来说周期和摆绳的平方根成正比，和伽利略的推导彻底不相同。牛顿的推导的办法也应该写到咱们中学的教科书里边，太酷了！牛顿万有引力就不往下讲了。

那么牛顿三规律的第必规律着重的是什么？任何不受外力影响，物体坚持停止或匀速直线运动，这种坚持一个状况不变就叫惯性，可是咱们把它翻译成惯性，实践上 inertia 这个词它便是懒的意思，便是懒得动对不对？我对你改动我的反抗，便是我的懒散，便是我的惯性，这也好了解。

牛顿第二规律说置于外力下的物体，其加快度正比于合力；份额系数，便是方才懒的详细衡量，叫（惯性）质量。惯性、质量，在德语里边都是一个词。那么第三规律说效果总等于反效果。这一套是牛顿三规律的表达。

后来的马赫对他换了别的一种表达，他会把第必规律表抵达什么呢？孤立系统有一个运动量守恒，它运动量指的什么？指的是物体的速度，乘上它的质量，这是一种表达。然后他把牛顿第必规律和第三规律结合在一同表达说两个物体是怎样样的——两个物体有相互效果是它们各自的动量加起来应该是个常数，这个表达也挺好的。牛顿第二规律是说什么呢？是说运动量的改动和它受力成正比。可是我就觉得咱们中文的教科书里很少有敢对牛顿批评的，而在西方的这一个物理学里边，对牛顿批评的是有的。必定要指出来。

牛顿第二定理是一个鸡生蛋蛋生鸡的一个东西，你说力形成了运动的改动，然后反过来又说用运动的改动去比较、去表征受力，所以它俩便是鸡生蛋、蛋生鸡。所以我当年学物理的时分就了解不了，或许不是了解不了牛顿第二定理，而是不知道拿它怎样办。

请咱们留意便是学物理的时分，必定要好好规划多往前想一步，凡是觉得哪当地有问题，它必定是有问题。而这个当地牛顿第二规律的鸡生蛋和蛋生鸡的问题，便是未来力学开展的方向——便是要把这个作业搞定，往下深化开展。

那么咱们看牛顿怎样证明引力的平方反比律的，你看人家用的都不是简略的圆形，而用的是比较一般性的图线，那么它最巨大的当地是在哪？这个当地诀窍在哪呢？你看受一个中心点招引这个物体它是这么运动的，可是假如说假如没有这个力的话，它应该是惯性的往前运动的，这便是切线。导致运动这一点（点）和中心（点）连线的时分，它能够延长到切线（点），那么这一小段就相当于在地球表面物体的下落这一点进程。而这一段能够简略用方才的伽利略体落体公式正比时刻平方这个东西来处理。那么这样的话就能证明点这个当地的曲率半径和受力和连线的长度平方成反比。

谢天谢地，幸而有钱德拉塞卡这样的诺奖得主，给我把这个作业讲清楚了。曾经咱们看假如你要看牛顿的原著的话，你就会发现牛顿是用平面几许带微分，证明晰平方反比力下运动轨迹是圆、椭圆和抛物线。我提示咱们留意，300 多年前牛顿教师用的平面几许是带微积分的，那在咱们国家的中学教育里边也有平面几许，请教师们能随意提一句，告知孩子们平面几许是能够带微积分的，不必教孩子们，可是让孩子们知道有这件事就行，再读这种数字也不会太困惑。

牛顿一同代人，咱们都知道还有一个荷兰的大拿叫惠更斯，咱们也都会读到说牛顿和惠更斯在光的动摇说和粒子说之间有对立，可是别忘了他们是一同代的伟人，他们更多的是志同道合的。咱们看，1673 年惠更斯应该比牛顿岁数大一点，牛顿得到惠更斯的这本闻名的书《钟摆》，惠更斯听说也是榜首个做出钟摆的人。请咱们记住咱们学单摆就简略一个公式的，而这本300多年前的单摆的书又大又厚，在咱们中学讲义就成了一个伽利略的单摆公式了，单摆里边学识很大。

那么惠格斯在单摆这个词里边很重要，单摆这本书里边造了一个很重要的词叫离心力，咱们讲一同留意到圆周运动里边出现，这是一个叫做生机（Vis Viva）的东西，这些东西将来就要和离心力放在一同。这个概念的演化也是一个时刻很长的东西，咱们书里不太简略讲清楚。

这个当地我再提示咱们一句，便是关于椭圆运动，这一个招引中心所受的向心力和间隔平方成反比，咱们是都知道的。可是还有别的一个现实，椭圆所受的向心力是和它到中心的间隔成正比的，几许上不太好证明。

那么我再着重一点，在咱们的教育书里边都只会教牛顿三规律，可是牛顿三规律是缺乏以描绘力学的，牛顿三规律还有牛顿的 7 个引理，而咱们都不再提了。我只想告知咱们，像牛顿规律这样重要的公式，假如咱们多少能够吃透他一点精力，你假如只想去发财的话，你就能够拿它去发财了。

牛顿的规律说力等于质量乘上加快度，那加快粒子是什么？假如一个粒子带电荷的话，它的力，所以咱们就能够把方程写成速度对时刻的微分，便是所谓加快度，应该等于它的 q 除以 m 所谓荷质比乘上电场。

那么这个公式是什么意思？便是要有本事会规划 E 随时刻和方位的改动，就能把电荷送到指定的当地去。

咱们都知道咱们现在国家的快递业有多兴旺，那么你把东西给人送到当地，人就给你钱。你看这个公式。简略的牛顿的公式，要学会怎样规划电场随空间和时刻改动的时分，就能把电荷送到指定的当地去，这便是各种的电子学仪器的运转原理。

那么咱们咱们看，这便是简略的四极质谱仪，四极质谱仪的四个杆上面设定好的那种一对一对上有震动电压。那么，把电场规划好的时分，就能够把某些电荷从这个当地过滤到容许它抵达的探测器，这便是四极质谱仪的作业原理。假如没有这一条，那四个金属杆或许卖二十块钱，有这个原理把电荷能送究竟下，这一套能卖人二十万美元，便是这个道理。这是榜首个。

那么别的一个简略的牛顿力学的，能够说别的的一个便是叫飞翔时刻质谱仪，咱们都知道咱们国家从月球上面取得了月壤，那么月壤的剖析，一个用的很重要的仪器便是所谓的飞翔时刻质谱仪，它讲的是什么呢？

他讲的是说你把样品这个当地用一束激光也好，电子也好，你把它打出来一点，打出来的尽管动上来运动的有快有慢。可是你给他加了许多的能量，比方加上 1000eV 的话，他们初始时的能量就能够不必管了，就能够为初始动能都差不多。

可是初始的动能就差不多，咱们咱们知道动能 ,动能都差不多，那么质量不同的话，它跑速度就不同，跑的快慢就不同，这样的话你把它这当地放进来给跑到这当地探测器，我只需看它抵达的时刻的时刻的信号差，我反过来就能算它的算出来的质量不同，然后就能做到对样品的质量剖析，这个东西就叫飞翔时刻质谱仪。你把这一个东西细心做到说我的这样的相对分辨率抵达百万分之一乃至更高，那便是一架高精尖仪器。

这一个我用这个比方，想说的是，尤其是给咱们的物理教师同行们想说的一句话是什么？便是物理学是关于天然的学识，是真关于实在产生过的传奇。因而咱们给孩子们命题的时分，必定要出那些实在的实在的物理题，你不要在教研室里瞎编标题，由于咱们的物理学史上产生过的那些题，就足以完结对咱们孩子的科学训练了。

一个法国人，拉格朗日明确指出，牛顿定理是正确的，可是是不行的，由于牛顿规律那里边连动能这个概念都没有。所以说牛顿力学不是经典力学，牛顿力学仅仅经典力学最初级的那一部分，后边力学还多着。

物理量与运动的描绘

那么接下来咱们就说运动怎样描绘的问题，咱们怎样描绘运动？描绘运动，首要一个物体自身特征便是它的质量，便是它的惯性，便是它的懒散。每一个像我这样当过胖子的人都能了解懒散和惯性，惯性质量是什么意思。至于引力是别的一回事。

已然有方位，移动这方位（你能够说方位是标量或是什么都不论它），可是你只需移动了一下（移动或叫位移），它便是个矢量。矢量除以的你挪的时刻便是速度，速度是个矢量，所以现在咱们就有了质量、方位、位移、速度、时刻这几个物理量，咱们现在不做物理研讨，咱们就做纯数学。有这几个数学目标，你看你能结构出什么数物理量来。

那么榜首个，咱们觉得一个物体运动要有一个描绘运动的量，那么最简略的运动量是什么？便是速度自身乘上它的质量（）。咱们都知道在操场上跑要抵达相同的速度，胖瘦不同的人，他其实是表现出费力程度是不相同的，所以说用质量乘上速度标明运动的量是很正确的，也是很天然的。可是咱们记住动量的改动或许差叫冲量，这个概念究竟从哪来的？其实反而是关于马队和步卒的考虑，听说是当年的亚历山大大帝带着他的戎行往前冲的时分，有一天忽然了解我的步卒和马队是不或许依照相同数算的。相同数意图马队它的冲量要比步卒要大得多的，所以说听说有这样的考量才有这样一个概念，叫质量乘上速度才是个动量。

那么这当地就有一个问题，便是咱们说位移是个矢量，速度是个矢量，是个 vector ，究竟是什么意思？在咱们的一般教科书里都会教咱们说矢量是既有巨细又有方向的量，关于某些矢量来说是这样的，可是我请咱们记住，矢量不需求有长度，也不需求有方向。由于矢量这个词新闻里 vector 自身它是携带者的意思，便是那些病菌的携带者，拉着雷达的车、拉着飞机的船，都叫 vector。所以 vector 自身含义是携带着什么，必定要从这个当地了解，而不是有既有方向又有巨细的量，不是那么简略的。

好，那么现在不论怎样着，咱们说速度是个矢量，动量是质量乘上速度也是个矢量。矢量自身依照四元数矢量的了解，自身有个平方的问题，那也是个标量。所以一个矢量和自身的乘积得出了一个平方这个东西便是速度平方，再乘上它的质量，便是方才咱们说圆周运动里就有个东西，这个东西叫生机。

关于矢量和标量咱们咱们必定要了解，便是一个矢量是1846年哈密顿引进的矢量，这个矢量是指四元数，后边的这三个东西，这个矢量只需三个重量，这三个重量之间是有乘法规矩的，便是咱们中学时分学的右手螺旋定则，咱们的教师历来不给咱们介绍右手螺旋定则是一种算术是一种乘法的东西，所以说咱们老弄不清楚，而Hermann Grassmann那里来的这样的一个矢量，反而是说是点的差， B 点减 A 点就等于位移 AB ；假如有 C 点的话， C 点乘上位移 AB 就等于三角形 ABC 。

这是这一套数学都是有的，惋惜咱们不教，也就后来有一个叫吉布斯的美国人，从欧洲留学回去把这一套数学带到美国，然后又嫌这个费事，他把内积和外积截然切割开了。而咱们的数学咱们的物理数学课程许多是从美国移植过来的，许多人底子不知道内积和外积或许点乘和叉乘原本是同一个乘法的两个部分，就相当于一辆车，把车头车尾分隔了，还误以为他们俩谁跟谁没联络，所以你学起来就费力了。提示咱们必定要重视一下矢量自身什么意思。

那么现在咱们还会描绘怎样运动？有质量，有一个位移矢量，有一个速度矢量，究竟能凑出哪些量呢？就能凑出动量，还能凑出一个标量叫生机。有人会加上一个 1/2 因子，便是咱们学的动能，咱们中学都学了。那么别的不同矢量相乘就有一个外积和内积的问题，外积会给咱们引进角动量，内积这个当地就会引进位力（virial），也是西门力或能的意思，一般的我国教科书就讲了，位力将来便是引出暗物质暗能量的出口。好，现在不论他。

咱们总结一下，假定咱们现在只考虑这5个底子人物：动能势能、动量、角动量和惯量矩，那么动能像势能组成一组加法的便是总能量。咱们一般都会挂在嘴上说能量守恒，是动能加势能能量守恒，两个量之间假如简略的代数联络的话，有加法还有个减法，对吧？

那么动能减势能是什么意思？咱们发现如同很难赋予它意思，可是这件事放在咱们心里，那么是什么意思呢？你要说它没有意思，或许是在这个层面上没意思，咱们把它进步换个层面，比方说咱们把它对能量积分，对时刻积分一下，动能和势能的差，积分一下是什么意思？如同也没有什么意思，但假如咱们要求它的改动等于 0，是什么意思？咱们会发现令动能减势能对时刻的积分改动等于 0 的时分，居然是咱们这个国际的底子道理——一个粒子或一个人或一个社会挑选的路途，居然便是满意这个要求的路途，这便是咱们后边要学的最小效果量原理。

假如咱们的数学要满意好，好到跟我方才说到那个女孩艾米·诺特相同好的话，你从这样的公式里边居然能炸出许多守恒规律来。这就要求咱们有更好的数学才能，也便是说当咱们的力学到这个层面的时分，对咱们的数学要求就太高了，也是对我的讲座建议的极大应战，可是我还要把它都出现在这儿面，放到我的 ppt 里边，各位有心的大学生、中学生、中学教师、大学教师，咱们感兴趣的话，你渐渐研讨。

咱们现在看怎样描绘运动，描绘运动要有参照系，参照系有这么几种，你看一种是固定参照系，一种是运动参照系。像小鸟描绘小鸟运动，它便是个运动参照系，由于相对牛也是运动的对吧？再看，这是北京会有的鸽哨，飞翔的物体宣布声响，这便是关于运动物体的辐射问题。你要习惯于这个问题的时分，你就能够了解电动力学了，这是几个不同参照系的问题。

还有，运动学的条件便是，运动不是由着你自在运动的，而是要受各种捆绑。关于这些捆绑，后来的赫兹和波尔兹曼给咱们做了一些区别。

假如用一个简略方程描绘的代数方程描绘，那就叫完好条件；假如不能用代数办法，而这用微分办法描绘就非完好条件。那么处理这种不同的捆绑条件，在力学里边后来要做变分原理的时分，是都要考虑的，它需求咱们关于相关的数学要比较了解。

可是有一点我要提示咱们的是，咱们讲运动的时分，为什么在咱们的讲义里边都会只教咱们匀速直线运动和匀速圆周运动？那是因为直线的话曲率等于 0，它便是直的；圆周运动它是个等曲率的，所以比较简略。可是一般状况下是什么？一般状况下这个要害词应该是“曲”对吧？咱们说你看一条线一条路是曲的；咱们说资料有九曲有曲折；而咱们人活在世上有冤枉、还要蜷曲在某个旮旯里边，人道也歪曲等等。所以说你看一切作业要害词落在哪？落在这个“曲”。所以说你学物理最起码你要学到怎样描绘曲线这个程度。

那么怎样描绘曲线呢？咱们发现描绘曲线一个最重要的参数是什么？是从某一点起的间隔。咱们看你看咱们从北京动身的有许多不同的高速公路，描绘这个高速公路是怎样样的？描绘的便是离某个起点规定为原点的间隔。答复“你在哪？”表述的高速都说“我在几号高速公路上多少公里处”，一下就说清楚了。

所以说用那个路自身的长度去描绘这条曲折的路是最天然的，可是天然描绘的有什么优点？描绘的一个优点，便是这个间隔公式，将来天然而然走入黎曼几许。而这样一条曲线，你要是求它的这样一个切矢量的时分，十分有意思，它的切矢量自身永久长度等于一。对“切矢量长度等于一”这个联络一微分，就等于切矢量自身和切矢量自身的微分恒等于 0。两个矢量点乘等于0，阐明它俩是笔直的。已然是切向，就会发现这个东西居然是法向，法向就标明它是怎样曲折的，所以乎咱们找到了怎样描绘曲折程度的学识。

怎样描绘曲折程度，还有一个特别酷的，如同是高斯得出的，说描绘这条路怎样曲折，就看这条路的长度和你直接自始至终取直线，看它比它长多少，再除以它自身的长度，就能表述这条线的曲折程度，所以乎有

这样的一个曲率公式。我觉得太天才了。咱怎样描绘曲折这个作业，咱们必定要好好学，由于这个不学会怎样描绘曲折，接下来玩运动的东西就无法往下走。

这个曲率公式、怎样描绘三维空间里的曲折运动，我就不给咱们细讲了。我只给咱们讲学识究竟谁做出来的——是一个法国人叫克莱洛做出来的；曲率公式在什么时分得到的——他13岁时分得着的。

所以各位看咱们的力学教育里边，咱们只教直线匀速直线运动和匀速圆周运动，凡是遇到曲折曲线他就不教了，是由于什么？说描绘曲线太难，咱们中学不教，我觉得我能够忍，对大学不能不教，为什么？你看人家13岁榜首次在法兰西学院 5 个部属研讨院之一宣读了曲线研评论文，最酷的是，这个论文的后边添了一行字“我要成为你们学院的成员”，人家说你毛头孩子你当什么咱们学院的成员；他 16 岁的时分提交了关于双曲率曲线的研讨。那么这时分他 16 岁了，这时分仍是投到那 5 个科学院之一（跟 13 岁不是一个）了，说我要成为你们科学院的成员。看在这论文体面上他们说行吧，所以他 16 岁就中选了法国科学院的院士。所以我想说的是，300 年前，一个法国的 16 岁少年都能够得到物理空间中的曲线的曲率标明，咱们有什么理由在一开端学运动的时分，不教咱们怎样去描绘曲线，对吧？我觉得咱们现在 13 岁的孩子能了解这些东西。

那么接下来描绘运动。描绘运动需求两个层次，一个层次方才运动量便是动量，别的一个层次便是方才说的生机或许叫动能，那么动两个物体磕碰的时分，动能必定是削减的，因而描绘这个运动的话，这两个层次必定是一个等式和一个不等式，这和咱们描绘热力学的话必定是一个层次的等式，能量守恒和一个层层次的不等式熵添加是相同的。描绘物理作业的始终是两个层次，一个层次的等式，一个层次的不等式。

这个当地我期望咱们能留意到，咱们在极点的简略条件下，咱们假定它是弹性磕碰的，咱们这个当地取等号，这便是动量守恒、能量守恒，这是咱们一般中学教科书里会教的。教这时分咱们一般都会说，咱们假定两个球磕碰的时分是弹性磕碰，咱们幻想一下两个球磕碰只需你听到响了，它必定不是弹性磕碰对不对？你方才一响的话，那就有部分能转化成空气振荡能就出去了，可是咱们假定它是弹性磕碰，这个假定没问题。

将来咱们会学到光和电子的磕碰，咱们真能够假定它是真的弹性磕碰，由弹性磕碰，咱们就能得出来光子动量该等于什么，树立光子的概念，所以说弹性磕碰协助咱们树立起了光有光子的概念。1926 年一个化学家路易斯起了“光子”这个姓名，所以说咱们不要小瞧弹性磕碰的研讨。

现在请咱们重视一个问题，便是这个当地（注：指该页 PPT 中的终究一式），我最初学弹性磕碰的时分，我对这个公式就留意到他哪里不对劲。由于咱们看这4项都有是吧？咱们教师一般都会教的都是系数应该都消掉的；可是又说如同不应该消掉，假如不应该消掉，得有个道理，为什么有1/2对吧？所以说咱们必定要告知清楚为什么有 1/2 的问题。那么为什么有这 1/2 问题？其实这个作业可不那么简略。

咱们说先说这一项的引进，是从“一个研讨落体掉到必定高度的时分，究竟会具有多少才能”这件事开端的。一个荷兰人，去研讨了这个问题，是怎样做试验的呢？他从高处掉下一个黄铜的球，底下堆一点烂泥，依据烂泥的干湿程度不同来研讨这泥砸这个球砸到泥里边究竟砸多深，来判别出它从不同高度落下来有多大能量，其实这个挺好玩的。这和咱们小时分玩泥巴，也是用泥从高处“啪”摔下来看冲击力相似，这个试验便是看一个黄铜球砸底下的烂泥坨子研讨抵达地面上的速度和压入深度的联络。

1722年的时分，他把这个研讨成果告知了一个15岁的女孩，便是这位 Du Châtelet 通报了冲击烂泥坨子试验。这个女孩后来考虑发现说关于不同质量的球，你会发现它砸这个球坑或许它具有的能量是用标明的。那么这个女孩我有必要想，我想说的是人家是怀带着两个孩子怀着第三胎的时分，把牛顿的那本简直谁都读不了解的天然哲学的数学原理给翻译成法语的，而到今日那仍是法语的最好的译著。

而请咱们记住，人家不过是个家庭妇女，最重要的是人家不光是翻译牛顿天然哲学原理，后边还附上对牛顿的天然哲学数学原理的形而上批评。由于你光翻译人的书，对人家的书没有开展，这个不算大学识，所以说这个凶猛到什么程度？1746 年意大利波罗纳的科学院，便是伽利略地点科学院，当年给这位女士写信说：“鉴于女士您对欧洲物理学界的影响，咱们恳求你成为咱们学院的 Member ，可否容许”。那么还有一个能证明她的影响力是她最早研讨红外线、也研讨生机阻的这篇文章，据有人告发说康德剽窃了她的论文。康德便是写三大批评的康德，有人告发康德就剽窃过咱们这位女士的论文，能够幻想这位女士的影响力有多大。

好，现在我给咱们讲一个要害的，怎样简略的从落体运动去推导机械能守恒规律，实践上这个不是推导，而是结构。咱们看这个进程是很重要的。

咱们先留意到，下落物体下落的高度越大，取得的速度越大，这个没问题。可是怎样个越大法？是说这取得速度和下落高度成正比，如同不符。后来说差不多应该是，取得速度的平方和下落高度成正比。那么假如我看中心进程便是从这中心的1点到2点的话，那么它俩速度的平方就和它俩的高度之差成正比，这也没问题。

然后这当地有一个份额因子，但假如你把这两个有一个份额因子未知数，你把它改写成了

这个也没问题，由于提究竟仍是一个未知数这也没问题。

好，现在你把这样的一个公式把两头移项，成果左面便是，右边等于，这个公式怎样看？又是一个重要的科学识题。这个公式咱们看是什么样的？一两头的公式长的姿态相同；第二点，左面只和一个标号一的作业有联络，右边只和二的作业有联络，这阐明什么？阐明它这样一个表达式和一、和二都有联络。因而这样一个表达式应该等于常数，这便是从这一步到这一步推导的逻辑的科学办法。

其实也好了解，当有人给你声称他和你是最好的朋友和那个人他也是最好的朋友的时分，他和你们俩谁都不是最好的朋友。就这么简略，所以这个公式也是这姿态，左面只和方位一有联络，右边是和方位二有联络，那么它就和谁都没有联络，所以乎它等于常数。那么这样一个推导办法狄拉克是学会了的，所以说咱们看狄拉克推导量子力学对易式和经典力学对易联络的时分，用的便是这个办法一模相同的。这便是所谓的机械能守恒。请咱们记住，这个不是推导，这种研讨办法叫应该说是结构，就说我结构这样的学识。

好，那么假如生机这拿出来，比及咱们有相对论的时分，咱们把一个具有速度或许具有动量的粒子，它的能量表抵达这样的时分，给它做打开，发现一阶近似多出来便是，这当地应该有，这个意思能够说把动能标明成而不是 ,和相对论是自洽的，这是一个说法。

那么当然了，在这之前有不少人，当你把动量对时刻的改动作为力和位移运算做功的时分，标明成生机之差的话，那会发现前面应该有，这一个来自于的积分也行。别的，像法国人 Coriolis 也引进过 1/2，这当地咱们请记住，便是说当一个科学的问题有必要该有的话，必定有不同的科学家从不同的视点留意到这个问题。

并且，Coriolis 也是榜首个引进“功”这个词的人，到现在为止你看牛顿力学，咱们现在还没学到功。Coriolis 榜首个提出了功的一个概念。

（接下篇）

统稿：紫竹与

校正：紫竹与 Meyare 4925 GuluGulu 7号机

修改：尼洛

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